喷泉取水问题(工程问题和相遇问题)

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趣题:喷泉取水

目录

题面

有四个喷泉。

从第一个泉取一杯水,要用一天;

从第二个泉取一杯水,要用两天;

从第三个泉取一杯水,要用三天;

从第四个泉取一杯水,要用四天。

问:如果从四个泉同时向外引水,要用多长时间取一杯水?

换种问法

把杯子换成水池,把喷泉换成水龙头,题面变成:

有一个水池和四个水龙头。

只开第一个水龙头,要用一天灌满水池;

只开第一个水龙头,要用两天灌满水池;

只开第一个水龙头,要用三天灌满水池;

只开第一个水龙头,要用四天灌满水池。

问:四个水龙头一齐开,要用多长时间灌满?

再换种问法

把杯子换成路程,把喷泉换成甲和乙,题面变成:

有一段路程和甲乙两个人。

甲走完全程,要用一天;

乙走完全程,要用两天;

问:甲乙两个人相对着走,要用多长时间相遇?

题型总结

上面这些都是同一种类型的题目。可以总结为下面的类型:

有定量的资源,由多个消费者共同消费。

各个消费者有各自的消费速率,各不相同。所以当各个消费者独自消费整个资源时,会花费不同的时间。

消费者的速率有正有负。(消费速率为负时,即为生产者)

资源总量

总的资源量,是各个消费者要共同达成的目的,一般应该是动词+宾语的形式,比如:

  • 完成一个项目
  • 运走一堆沙子
  • 填满一个池子
  • 花完一笔款项

消费速率

这类题目有个重要的关系:

合作的消费速率 = 单独的消费速率之和

消费速率是个比值,是消费者消耗资源的份数

消费速率 = 资源总量 / 份数

份数可能时间,也可能是物品的件数。是单位时间的量,也可能是单位个数的量。只要是单位的资源量就可以认为是速率。比如下面的概念都可以认为是消费速率:

  • 消费者是杯子时,消费速率就是杯子每天装的水
  • 消费者是工程队时,消费速率就是工程队每天干的活
  • 消费者是运动者时,消费速率就是每天走的路程
  • 消费者是物品时,消费速率就是每件物品的钱

上面的题解

定量的资源:填满杯子的容积

消费者:4个泉

每个泉消费的速率:

  • 第一个泉:每天填满杯子容积
  • 第二个泉:每天填满杯子容积的 $ \frac{1}{2} $
  • 第三个泉:每天填满杯子容积的 $ \frac{1}{3} $
  • 第四个泉:每天填满杯子容积的 $ \frac{1}{4} $

四个泉合作的消费速率为上面四个速率之和:每天填满杯子容积的 $ 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $

合作所需的时间:

$$ t = \frac{1} {1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = \frac{12}{25}天$$


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