星形线的公式和图像

2017-09-07

星形线是 内摆线 的一种特例,当内外圆半径之比为4时,内摆线就是星形线。

星形线 (astroid) 的字根 astro- 来自希腊语中的 “星星”:αστέρι

英文同字根的词:

  • astronaut 宇航员 naut 来自希腊语中的 sailor: ναύτης
  • astrology 占星术
  • astronomy 天文学
  • asteroid 小行星
  • disaster 灾难

星形线的标准式

$$x^{2/3}+y^{2/3}=1$$

星形线是 内摆线 的一种特例, 大圆与小圆的直径之比为 $4:1$,则小圆上任一点形成的轨迹即为星形线。

星形线的参数式

$$(x,y)=(\cos^3(t), \sin^3(t))$$

滑落定长杆的包络线

星形线还有一种方法得到:想象一根定长的杆子,靠着墙放,由于放得不稳当,一端沿着墙面滑落。

滑落的过程中,这根杆子在空中所有的瞬时位置,就形成了一个包络线。这个包络线也是星形线。

这种定长滑杆的两个端点在x,y轴上滑动的机制,恰好是 椭圆规 的工作原理。

所以滑杆上的所有点的轨迹,也得到了一族椭圆,而且这族椭圆的包络线也是星形线。

椭圆簇的包络线

满足 $a+b=$定值 的椭圆的包络线

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