二进制转换的交互演示

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人能掌握的符号个数是有限的,而数的数量是无穷的,所以人们被逼着用有限个符号表示无限个数,这就产生了记数系统。本文希望能帮助理解不同记数系统的来源和特点。

互动演示

下面是十进制和二进制的互动演示:

  • 上半部的圆点,是要表示的数量,可以认为是自然界中客观存在的数。点击任意一个圆点,可以看到对应数量的圆点变为灰色;
  • 下半部是十进制和二进制的表示法,对应上方变灰色圆点的数量。

记数系统

根据使用符号的个数不同,有多种记数系统,使用 N 种符号的就是 N 进制。人类自然形成的记数系统有十进制、六十进制、十二进制、二十进制等,和电子、计算机有关的记数系统有二进制、八进制、十六进制等。

  • 十进制

最常用的记数系统,来源于人的十根手指(英语中 digit 一词既有手指的意思,也有数字的意思)

  • 六十进制

常见的记数系统,60 是 3、4、5 的最小公倍数,方便在平分时得到整数。在表示时间、角度时使用,比如 1 小时= 60 分钟

  • 十二进制

因为 12 的因数很多,方便多种方式(2,3,4,6)等分。一个白天 = 12 小时、一英尺 = 12 英寸,一打(dozen)

  • 二十进制

手指加上脚趾,就产生了二十进制。一些欧洲语言中仍残留了二十进制,比如法语中的97,是 quatre vingt dix sept (4个 20,1 个10 和 1 个7)

  • 二进制

由于电信号、继电器和半导体都有两种工作状态(高低、开合、通断),所以当代计算机都使用二进制。八进制和十六进制都是由二进制衍生而来。

规律

各种数制有以下的规律:

  • N进制 以 N 个有限符号表示无穷的数
  • N进制的符号中不存在 N
  • N进制中的(10)在数值上等于 N
  • 同一个符号,每向左移一位,其表示的数值就扩大 N 倍。
  • 每种数制有自成体系的算术运算和代数规则
  • 描述 N 种状态的现象,适合用 N进制 或者 kN进制

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