圆的第二定义

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圆的定义除了常规的“点-距离”定义,还有另一种较为少见的“第二定义”,本文以动态图像的形式帮助理解 圆的第二定义

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常规定义

在同一个平面内,以定点为中心,动点以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

圆锥曲线定义的共同点

圆锥曲线族的成员,都有关于两个点(线)的定义:

  • 到两点距离之和为定值 —— 椭圆
  • 到两点距离之差为定值 —— 双曲线
  • 到点线距离相等 —— 抛物线

而圆,尽管可以看做两个焦点重合的椭圆,但是其实圆是有类似上面的关于两个点的定义,即圆的第二定义

第二定义

平面内一动点到两定点的距离的比为定值($\ne 1$),则此动点的轨迹是圆,也称为 Apollonius 圆

设两定点 $A,B$ 位于 $A(-a,0), B(a,0)$,则到 $A,B$ 距离之比为 $p(p \ne 1)$的动点形成的圆是:
圆心:$$({{p^2+1} \over {p^2-1}}a,0)$$半径:$${2ap} \over {|1-p^2|}$$

比值 $p=3$ 的例子,如下图

以第二定义描述的方法,可以称为 围绕 $A,B$ 两点 画的圆

Apollonius 圆

第二定义里 $p$ 取下列值:$$\{1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5\}$$

得到一族 Apollonius 圆 如图中所示:


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