共焦圆锥曲线的图像

2018-06-13

圆锥曲线的特点都是都有一个或多个焦点。以同一个点或者多个点为焦点的一族圆锥曲线,就是共焦圆锥曲线。

共焦点抛物线

焦点位于原点、对称轴位于 x 轴、开口向右的 抛物线 簇方程为 $$y^2=2px+p^2$$

焦点位于原点、对称轴位于 x 轴、开口向左的 抛物线 簇方程为 $$y^2=–2px+p^2$$

抛物线 可以看做有一个位于无穷远的焦点,所以共焦点的抛物线簇,是共用一个对称轴的。

共焦点椭圆

假设两个固定焦点位置为$(-c,0), (c,0)$,长半轴为 $a$

以 $a$ 为参数,则随着 $a$ 的变化,共焦点的椭圆簇方程为:$${x^2 \over a^2}+{y^2 \over {a^2 - c^2}}=1$$

由于 离心率定义为 $e={c \over a}$,而 椭圆 的离心率恒小于1,所以有$$a \gt c$$

共焦点双曲线

以 $a$ 为参数,则随着 $a$ 的变化,共焦点的双曲线簇方程为:$${x^2 \over a^2}-{y^2 \over {c^2 - a^2}}=1$$

由于 离心率定义为 $e={c \over a}$,而 双曲线 的离心率恒大于1,所以有$$a \lt c$$

共焦点椭圆/双曲线

结合上面两节,将共焦椭圆和共焦双曲线组合,就得到了椭圆坐标系:

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