圆锥曲线

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圆锥曲线是一类曲线,尽管这些曲线的外观可能非常不同,但都满足一个统一的定义。

圆锥曲线的定义

除了传统的基于准线、焦点的定义(比如 抛物线椭圆 )以外,圆锥曲线有更为正式和统一的定义:

动点到一定点(焦点)的距离与其到一定直线(准线)的距离之比为常数(离心率e)的点的集合是圆锥曲线。

统一的参数式为$$r={l \over 1 + e \cos \theta}$$

离心率e,Eccentricity,表示圆锥曲线偏离于圆的程度的度量。

离心率 e 圆锥曲线形式
0
0 < e < 1 椭圆
1 抛物线
e > 1 双曲线

下面分两种情况展示动图:

e<1 的情况

e=0时,曲线是圆。随着 e 增大,曲线形状偏离圆形,变成椭圆形,有两个焦点。

这两个焦点其中一个是 定焦点,也就是前面提到的圆心(图中的原点),另一个 动焦点 沿着椭圆的长轴方向运动(图中的 x 负半轴)。

e 值越大,动焦点越远,当 e 值为 1 时,动焦点 位于无穷远,这时椭圆变成 抛物线

e>1 的情况

当 e 值超过1继续增大,这时 抛物线 变为 双曲线。

动焦点从无穷远处沿相反方向(图中的 x 正半轴)回到定焦点附近。

可以把 抛物线 看做是椭圆和双曲线的临界状态。

反射性质

所有圆锥曲线,具有以下反射性质:

有一圆锥曲线形状的镜子,从任一焦点出发的光线,将汇聚在另一焦点处。

焦点这一词其实是从光学借来的。

帕斯卡定理

1639 年(明思宗崇祯十二年,思宗正为南下的清军焦头烂额),16 岁的帕斯卡(就是压强单位里的帕斯卡)发现了后来以自己名字命名的定理:

圆锥曲线的内接六边形,三对对边延长线的交点共线


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