圆锥曲线

2018-05-27

圆锥曲线的定义

除了传统的基于准线、焦点的定义(比如 抛物线椭圆)以外,圆锥曲线有更为正式和统一的定义:

动点到一定点(焦点)的距离与其到一定直线(准线)的距离之比为常数(离心率e)的点的集合是圆锥曲线。

统一的参数式为$$r={l \over 1 + e \cos \theta}$$

离心率 $ e$,eccentricity,衡量了圆锥曲线偏离圆的程度。

离心率 $ e$圆锥曲线形式
0
0 < $ e$ < 1椭圆
1抛物线
$ e$ > 1双曲线

下面分两种情况展示动图:

$ e < 1 $ 的情况

$ e = 0 $ 时,曲线是圆。随着 $ e$ 增大,曲线形状偏离圆形,变成椭圆形,有两个焦点。

这两个焦点其中一个是 定焦点,也就是前面提到的圆心(图中的原点),另一个动焦点 沿着椭圆的长轴方向运动(图中的 $ x$ 负半轴)。

$ e$ 值越大,动焦点越远,当 $ e$ 值为 1 时,动焦点 位于无穷远,这时椭圆变成 抛物线

$ e > 1 $ 的情况

当 e 值超过1继续增大,这时 抛物线 变为 双曲线。

动焦点从无穷远处沿相反方向(图中的 x 正半轴)回到定焦点附近。

可以把 抛物线 看做是椭圆和双曲线的临界状态。

反射性质

所有圆锥曲线,具有以下反射性质:有一圆锥曲线形状的镜子,从任一焦点出发的光线,将汇聚在另一焦点处。

焦点这一词其实是从光学借来的。

帕斯卡定理

1639 年(崇祯十二年,明思宗朱由检正为南下的清军焦头烂额),16 岁的帕斯卡(就是压强单位里的帕斯卡)发现了后来以自己名字命名的定理:

圆锥曲线的内接六边形,三对对边延长线的交点共线

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