从掷骰子观察二项分布

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本文以动画的形式模拟二项分布实验,可以看出分布情况随着 p 的变化而不同。

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生活中的场景

生活中许多事情只有两种结果,而且需要反复多次尝试,比如:

小明要连续参加三次模拟考试,通过的标准是三次考试中有任意两次及格。假设小明每次考试通过的概率有1/6,想知道小明通过整个考试的概率有多少?

小明参加射箭比赛,如果每支箭射到靶上的概率为 p,那么当小明一共射出 N 支箭后,留在靶上有 k 只箭的概率有多少?

只有两种结果(例如 成功失败 )的实验,称为伯努利实验。那么做 N 次独立伯努利实验,任何一种结果( 成功失败 )累计的次数,都符合二项分布。

这位伯努利,也是 伯努利双扭线 的那个伯努利,也是研究 对数螺旋的自相似性 的那个伯努利,同时是 伯努利定律 那个伯努利的大伯

我们把生活中这些例子抽象成掷骰子,来研究如何求解。

游戏规则

扔一次骰子的结果只有“是 6” 和 “不是 6” 两种结果,而且“是 6 ”的概率为 1/6.

如果一把扔出 N 个骰子(或者一个骰子连续扔 N次),将投出6的事件记为成功,累计成功的次数也就是的个数 记为 k,则 k 服从(N, p)二项分布。

比如,如果一把投出12颗骰子(N=12),得到如下图中的结果:

上图中, 共出现了3次,此次实验的结果 k=3

k 取值最大只能到 N,即一把扔出的骰子全部是(666啊);最小值是0,即一把扔出的骰子全部不是(这个概率似乎大的多)。

那么 k 最可能取的数字是几?取到这个数字的概率又是多少?我们把 k 的可能取值列在下面的表里

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
概率

二项分布就是研究这个 k值的分布。下面我们用程序模拟几种特殊情况。

6的个数

我们用程序模拟扔出12个骰子,观察 k 的分布(k 是12个骰子中,6的个数)。

点击“开始模拟”按钮,观察实验的过程:

模拟运行结果大概是下面这图的样子:

根据二项分布的理论,得到 k 个 6(或者1~6任何一个数字,p=1/6)的概率如下图形状:

可以看出和理论的分布形状是接近的。

4,5,6 其中任一

我们继续用程序模拟12个骰子扔出去,这次我们改变 游戏规则 ,只要出现4,5,6其中任一个都算成功。由于每个骰子出现4,5,6其中任一个的概率是1/2,所以p=1/2。

根据二项分布的理论,得到 k 个(4,5,6 其中任一,p=1/2)的概率如下图,我们:

下面用程序模拟 k 的分布,观察是否和理论一致。

点击“开始模拟”按钮,观察实验的过程:

模拟运行结果大概是下面这图的样子:

可以看出和理论的分布形状是接近的,而且接近了 正态分布

二项分布的直观演示

高尔顿钉板 可以用来直观的演示二项分布的形状。


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