从掷骰子得到正态分布

发表时间

正态分布是如此的常见,也容易得到。因为一组独立同分布的随机变量,只要数量足够多,其总和就逼近正态分布。本文以动画的形式,展示如何用掷骰子的点数和得到正态分布。

中心极限定理表明,大量独立的同分布的随机因素,如果各项因素都不能起到主导作用,那么这些因素的共同影响结果,就服从正态分布。

游戏规则

当只有1颗骰子时,骰子的点数符合均匀分布。

当扔出多个骰子时,所有骰子点数的总和,会随着骰子个数的增多,接近正态分布。

比如一次投5颗骰子,得到 [3,5,1,6,4] 的结果。那么所有骰子的总和为:$X=3+5+1+6+4=19$. 当骰子个数增加时,会发现 $X \sim N(\mu, \sigma)$

掷一颗骰子

一颗骰子每个面的概率相等。由于骰子有 6 个面,所以每个面的概率是1/6. 每个面的概率如下表:

1 2 3 4 5 6
概率 $1 \over 6$ $1 \over 6$ $1 \over 6$ $1 \over 6$ $1 \over 6$ $1 \over 6$
下图是模拟 600 次掷骰子的结果,点击“开始模拟”按钮开始模拟。柱状图显示了每个面出现的次数。能看出每个面出现的次数大致相等。

理论上均匀分布的概率分布图,用离散函数表示如下图,可以看出和上面实验结果类似。

掷二颗骰子

两个骰子面值之和的概率,是两个骰子独立事件的概率的和。比如,得到点数3的概率为:一颗1、一颗2的概率 加上 一颗2、一颗1的概率 之和: $$ P(1)P(2)+P(2)P(1)=1/ 6 \times 1/ 6 + 1 /6 \times 1 /6=1/18 $$

每个数值的概率如下表:

点数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
概率 $1 \over 36$ $1 \over 18$ $1 \over 12$ $1 \over 9$ $5 \over 36$ $1 \over 6$ $5 \over 36$ $1 \over 9$ $1 \over 12$ $1 \over 18$ $1 \over 36$

上面表格内的概率值用离散函数表示,如下图所示,可以看出中间值 (7) 的出现概率最大。由于合并得到中间值的概率越来越高,所以和一颗骰子的均匀分布相比,中间数值的概率逐渐高起。

下图是模拟 2000 次掷两颗骰子的结果,点击“开始模拟”按钮开始模拟。柱状图显示了每个面出现的次数,投掷次数越多,越接近预测的概率分布。

模拟运行结果大概是下面这图的样子:

五个骰子

当骰子个数多起来之后,靠近中间值的概率越来越高,逐渐接近正态分布。下图是模拟 5000 次掷6颗骰子的结果,点击“开始模拟”按钮开始模拟。柱状图显示了每个面出现的次数,投掷次数越多,越接近正态分布。

模拟运行结果大概是下面这图的样子:

1万次投掷

当投掷次数多起来之后,模拟得到的频次统计,就越接近标准的正态分布。下图是模拟 10000 次掷12颗骰子的结果,点击“开始模拟”按钮开始模拟。柱状图显示了每个面出现的次数。

模拟运行结果大概是下面这图的样子:

中心极限定理

独立同分布情形下的中心极限定理:

一组独立同分布的随机变量$\{X_i\}$,无论其分布是什么,只要数量足够多,其总和$\Sigma X_i$逼近正态分布。

(完)


  欢迎到 留言板 写下你的看法。
  本页面内容采用 署名协议 CC-BY 授权。欢迎转载,请保留原文链接