椭圆的画法

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在现实生活中如何画 椭圆

焦点法

又叫园丁画法(gardener’s construction),因为在划定椭圆形花坛时,这个方法最为实用,而且画出的椭圆也足够标准。

椭圆的定义 所描述的一致,用一根没有弹性的绳,两端固定,可以做出椭圆。

这种方法的优点:
  • 因为很长的绳子可以折叠,便于携带,所以这种方法可以以体积较小的工具画出很大的椭圆。
缺点
  • 不够精确

内旋轮线

如这篇 内旋轮线 所描述,当大小圆半径为 2 时,可以得到椭圆轨迹

这种方法需要半径比为2的两个圆相互啮合,比如 图斯双圆

参数方程法

观察椭圆的参数方程,$$(x,y)=(a \cos t,b \sin t)$$

刚好可以表示为一根线段上定点的轨迹。用一根长度为 $a+b$ 的硬杆,两端在 $x$ 轴、$y$ 轴上滑动。到两端距离分别为 $a$ 和 $b$ 的点的横坐标总等于 $a \cos (t)$ ,纵坐标总等于 $b \sin (t)$ 。所以这个点的轨迹即为椭圆。

图中的紫色表示滑块经过的轨迹,说明这种方法为了画出半轴为$a,b$的椭圆,需要两根长$a+b$轨道。

这种方法的优点: 缺点:
  • 工具的尺寸$(a+b)$比画出的椭圆$(a,b)$更大,限制了这种方法的应用
  • 椭圆一周的轨迹,需要4次越过轨道,增加了画图的难度,有可能使椭圆不连续

参数方程法改进

注意到上面的 参数方程法 里,滑杆中点的坐标为$$({a+b \over 2} \cos (t), {a+b \over 2} \sin (t)),$$刚好是个圆。所以,参数方法里的滑杆可以折叠起来,如下图。

与前面方法相比,少了一根轨道,减小了工具的体积,相当于将另一个根轨道的约束转化为圆心的约束。但仍然没有解决工具尺寸过大的问题。

椭圆规

常见的椭圆规,克服了上述的缺点,轨道更短,且椭圆曲线不与轨道相交。原理如下:

滑杆长度为$a$,两个滑块距离固定为$a-b$,则滑杆另一端点的轨迹仍然为$(a\cos (t), b\sin (t))$,即椭圆方程。

轨道长度只需要$a-b$。有趣的是,两个滑块的轨迹是等长的,却画出了一个偏心的椭圆。

现实中的椭圆规长这样:


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