椭圆

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椭圆的定义

椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点之轨迹。

$$\{P | |PF_1| + |PF_2|= C\}$$

下面的动图表示,到两个焦点的距离之和为常数。

椭圆的方程

直角坐标:

$${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}=1$$

参数式:

$$(x,y)=(a \cos t,b \sin t)$$

从参数式可以看出:横坐标 $x$ 来自半径 $a$ 的圆,纵坐标 $y$ 来自半径 $b$ 的圆。

再进一步,从 正弦曲线余弦曲线 与单位圆的联系 ,可以得出

椭圆是由相互垂直的两个振动的叠加。

利萨如图形 中,$a:b=1:1$ 的情况。

圆变为椭圆

圆可以看做焦点重合的 椭圆。离心率 eccentricity $$e={a \over c}$$其中, $c=\sqrt {a^2-b^2}$

图中的绿色直线表示椭圆的准线(directrix)。准线的方程为 $$x={a^2 \over c}$$

圆的准线可以看做位于无穷远,随着离心率 e 的增大,准线接近圆点。

椭圆的准圆

准圆 Director circle是椭圆外切矩形的外接圆。

准圆的半径是 $$\sqrt{a^2+b^2}$$

椭圆的切线方程

过点$(x_0,y_0)$的椭圆切线方程为$${x_0x \over a^2}+{y_0y \over b^2}=1$$

光学反射性质

从任一焦点发出的光线,反射光将通过另一个焦点。

共轭直径

共轭直径三角形

共轭直径构成的三角形,面积恒定为 $$A_\Delta={1 \over 2}ab$$


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