外摆线的动态演示

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外摆线的定义

一个半径 r 的小圆,在半径 R 的大圆外无滑动的滚动时, 小圆上定点的所形成的轨迹线

内旋轮线相比,定点的位置从小圆内移到了小圆上。

可以看做 摆线 依靠的直线变成外侧的圆,故名。

大圆和小圆的的半径之比 $R / r$ 是影响外摆线形状的主要参数。与 内摆线 不同,外摆线的小圆在大圆之外,半径不受大圆的约束,可以和大圆相等,甚至超过大圆。

R/r=1

两圆相等时,轨迹线是 心脏线

R/r=2

当 R 与 r 的比值为整数时,形成曲线是封闭的,且有 $R / r$ 个 “尖”(这个尖是向内的)

R/r=3

R/r=5

当 R 与 r 的比值为5时,曲线封闭且有5个尖

R/r=5/3

当 R 与 r 的比值为有理数时,形成曲线是封闭的,且有 R 个尖。比如下图是 R=5,r=3 的情况

R<r

内摆线 不同,外摆线的小圆没有大圆半径的约束,小圆半径可以超过大圆。下面是当 $r = 2R$ 的情况

参数表达式

外摆线的参数式
$$x(t)=(R+r) \cos (t) – r \cos ({{R+r} \over r}t)\\y(t)=(R+r) \sin (t) – r \sin ({{R+r} \over r}t)$$

从参数式可以看出,外摆线的坐标由前后两项组成,前项是小圆圆心相对大圆的位置,后项是定点相对于小圆圆心的位置。可以看做两个矢量相加的结果。

纽索纹

从外摆线的参数表达式出发,还能得到变化繁杂、而且更有实际价值的曲线族,见 纽索纹 一文。


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