傅立叶变换的直观解释

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傅里叶变换几乎是任何工学学科绕不过去的工具,它不仅是观察分析这个客观世界的强有力工具,而且还从数学角度体现了自然界的美与巧妙。本文试着以直观的方法解释傅里叶变换的运算和本质。

方波的傅立叶变换

方波用傅里叶变换展开如下图:

一个比方:谱子上的音符

想象我们在欣赏一首钢琴曲,演奏家看着下面这样的谱子:

这首谱子上的音符,按时间先后顺序出现在五线谱上。

演奏结束后,我们好奇地提问:这一首曲子中,每种音符各有多少数量?有多少 Do ?多少 Re ?

我们希望得到下面这样一个统计:

Do_ Re_ Mi_ Fa_ Sol_ La_ Si_ Do Re Mi Fa Sol La Si Do^ Re^ Mi^ Fa^ Sol^ La^ Si^
3 12 32 14 33 11 9 43 23 57 12 63 41 19 12 5 15 5 21 2 0

做成图就是:

这是关于音符数量的直方图,反映了音符出现的次数。我们用这张图从另一个维度观察了上面的谱子,得到了仅从谱子上观察不到的信息。

(未完待续)


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