纽索纹

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用途

纽索纹(guilloche),也叫纽索饰。是在旋轮线、正弦曲线基础上,增加更多的细节控制,得到美观、细密的图形。

由于纽索纹的参数较多,且曲线的形状对参数非常敏感,仅从图形外观上不能反推得到参数值,于是难以复制,适合防伪用途。在装饰、防伪印刷品经常能看到纽索纹的身影:

(RMB 100元背面)

(身份证)

(证书边框)

(防伪标志)

(香烟封条)

如何得到纽索纹

纽索纹 和 旋轮线 类似,都是在圆的参数方程基础上,通过以下步骤得到:
  • 使极径 $\rho$ 成为极角的函数$\rho(t)$。
  • $\rho(t)$是周期函数
  • $\rho(t)$的周期不能被 $2\pi$ 整除

半径为 $R$ 的圆,方程为$$x(t)=R \cos(t)\\y(t)=R \sin(t), $$需要找到合适的极径函数 $\rho(t)$,得到$$x(t)=\rho(t) \cos(t)\\y(t)=\rho(t) \sin(t),$$称为调制的半径。

基本图形

取极径函数 $$\rho(t)=R-r \cos(bt),$$得到:$$x(t)=[R-r \cos(bt)] \cos(t)\\y(t)=[R-r \cos(bt)] \sin(t)$$

若取 $R=8, r=1, b=6$ 时,图形会是这样:

多个周期重复

为了形成交叉格子的图案,需要把周期缩小到$2 \pi$以内,并且周期不能被 $2 \pi$ 的整除。经过多个旋转周期后,不同周期的曲线自身相交叉得到格子图案。
$$x(t)=[R-r \cos(bt)] \cos(at)\\y(t)=[R-r \cos(bt)] \sin(at), a<1$$
比如 $R=8,r=7,a=0.95,0<t<2\pi$ 时,曲线图形会是这样:

多周期重复后,得到

若取 $R=8, r=2, b=6, a=0.99, 0<t<2n\pi, 0<n<35, n\in\mathbb{Z}$时,图形会是这样:

图形对 a 值的敏感程度

图形对 $a$ 值的敏感程度,可以从下图看出:取 $a= \in\{0.999-0.001n|0 \le n \le 29, n\in\mathbb{Z}\}$ 的30个数,相当于$3\%$的变化范围,$0<t<20\pi$. 可以看出图形发生了的很大的变化。$a$值的作用,是决定了图形的旋转角度,或者相位累积。

图形对 b 值的敏感程度

图形对 $b$ 值的敏感程度,可以从下图看出:取 $b=1\sim30$ 的30个数,$0<t<4\pi$. 可以看出 $b$ 值的作用,是决定了图形的极径函数 $\rho(t)$ 的基本频率。

图形对 r 值的敏感程度

图形对 $r$ 值的敏感程度,可以从下图看出:取 $R=9.7,p=0.5,a=0.825,b=3,0<r<200,0<t<30\pi$. 可以看出 $r$ 值的作用,是决定了图形的极径函数 $\rho(t)$ 的平均值。

精细调制

增加一项较低频率的振荡项。极径函数为 $$\rho(t)=R-r\cos(bt)-p\cos(ct),$$得到:$$x(t)=[R-r\cos(bt)-p\cos(ct)] \cos(t)\\y(t)=[R-r\cos(bt)-p\cos(ct)] \sin(t)$$
若取 $R=8,r=2,p=1.5,a=0.99,b=6,c=0.02,0<t<40\pi$时,图形会是这样:

取 $c=\{0.01n|0<n<16, n\in\mathbb{Z}\}$时,图形会是这样:

外摆线

有理数情况下的外摆线 入手,当 R 和 r 的比值 $R/r$ 接近随机数时,尖的数量增大很多,形成交叉格子的图案。

举个例子,若取 $R=9.7, r \in\{4.7+0.02n|0<n<30, n\in\mathbb{Z}\}$时,图形会是这样:

若取 $R=9.4, r \in\{6+0.02n|0<n<30, n\in\mathbb{Z}\}$时,图形会是这样:

例子

一张图模拟防伪标志:

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