内摆线

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内摆线的定义

一个半径 r 的小圆,在半径 R 的大圆内无滑动的滚动时, 小圆上的定点的所形成的轨迹线。

内旋轮线相比,定点的位置从小圆内移到了小圆上。

可以看做 摆线 所依靠的直线变为圆,故名。

R/r=2

这时轨迹线是大圆的一条直径。

R/r=3

当 R 与 r 的比值为整数时,形成曲线是封闭的,且有$R/r$个尖

R/r=4

在 R 与 r 的比为4时,这时轨迹线是 星形线

R/r=5

当 R 与 r 的比值为5时,曲线封闭且有5个尖

R/r=5/3

当 R 与 r 的比值为有理数时,形成曲线是封闭的,且有 R 个尖

参数表达式

内摆线的参数式
$$x(t)=(R-r) \cos (t) + r \cos ({{R-r} \over r}t)\\y(t)=(R-r) \sin (t) + r \sin ({{R-r} \over r}t)$$

内摆线是 内旋轮线 的特殊情况,从参数式可以看出,内摆线的坐标由前后两项组成,前项是小圆相对大圆的位置,后项是定点相对于小圆圆心的位置。

更复杂的情况,见 纽索纹

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