利萨如图形的动态演示

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利萨如图形,Lissajous curve,也叫李萨如图形、李沙育图形,用来展示两个相互垂直的简谐振动的合成。两种垂直的振动可能是相互垂直的弹簧、或者相位相差 90°的正弦波信号。

动态演示

下面的动态图像,展示了两个独立简谐运动合成的“利萨如图形”,通过右侧的控件可以启动或暂停演示,或者指定两个振子的频率(a, b)和相位(θ, δ)。

参数式

两个相互垂直的振动表达式别为$$x(t)=\sin(at+\phi)\\y(t)=\sin(bt)$$

同时可作为利萨如图形的参数方程式。该方程的含义为:图形的横、纵坐标$x, y$,分别来自两个振子的瞬时位置$x(t), y(t)$,这两个振子的振动方向相互垂直,振幅相等,振动频率分别为 $a$ 和 $b$。

利萨如图形的性质

利萨如图形的形状与参数值有非常强的关联,有如下几点:

振动频率决定叶瓣数量

比如,a=1,b=3 时,得到的图形

频率比的影响

a 与 b 的比值 a/b,是决定利萨如图形状的首要因素,图形的形状强烈受频率比的影响。比如:当 a/b 为有理数时,图形曲线闭合。

相位差的影响

随着相位差 $(\phi = \theta-\delta)$的变化,图形看起来像在三维空间旋转的投影。下面观察几种参数组合的图形:

频率比 a/b 相位差 φ 利萨如图形形状
1:1 直线
1:1 0°~90° 椭圆
1:1 90°

a:b=1:1

最简单的情形,完全同相,$\phi=0$得到直线

$\phi= \pi/4$ 得到椭圆

$\phi= \pi/2$ 得到圆(从参数式看出,$\sin$ 函数移相 $\pi/2$ 得到 $\cos$,于是图形是圆 )

(这一步是由两个振子得到圆,和 正弦函数 中、圆分解为两种振动的过程刚好相反)

当 $0 \le \phi \le 2\pi$ 时,图形的变化趋势如下图:

图形好像一个圆绕着圆柱旋转时,在屏幕上的投影。

有没有感觉像下面的 旋转舞者 ?一会觉得是向左转,一会觉得是向右转。

a:b=1:2

这里 所讲,a 值决定 y轴 方向的叶瓣数量,b 值决定 x轴 方向的叶瓣数量。

$\phi=0$得到蝴蝶形状:

$\phi = \pi/4$得到单根曲线:

$\phi = \pi/2$又得到蝴蝶形状,不同的只是起始点位置:

当 $0 \le \phi \le 2\pi$ 时,图形的变化趋势如下图:

其他 a:b 值

本节展示多种频率比值条件下,相位差在 $0 \le \phi \le 2\pi$ 范围改变时图形的变化过程。

$$a:b=1:3$$
$$a:b=2:1$$
$$a:b=5:4$$
$$a:b=13:15$$


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