利萨如图形的动态演示

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利萨如图形,Lissajous curve,也叫李萨如图形、李沙育图形,用来展示两个相互垂直的简谐振动的合成。两种垂直的振动可能是相互垂直的弹簧、或者相位相差 90°的正弦波信号。

目录

动态演示

下面的动态图像,可以用来展示任意频率比例的利萨如图形。

使用方法

点击按钮:Restart(重新启动)或 Pause(暂停)按钮以改变演示状态

在右侧的控件中填入参数:
  • 两个振子的频率 $a, b $,比如 $a=2, b=3$
  • 相位 $ \theta, \delta $,比如 $ \theta=\pi/2,\delta=0 $

参数的几何含义见 这里

参数式

利萨如图形的参数方程式如下:

$$
\left\{ \begin{array}{lr} x(t) &=& \sin(at+\theta)\\
y(t) &=& \sin(bt + \delta) \end{array}
\right.
$$

几何含义为:有两个振子,振动方向相互垂直,振幅相等,振动频率分别为 $a$ 和 $b$,振子的瞬时位置为 $x(t), y(t)$,分别作为图形的横、纵坐标 $x$, $y$

式中的 $\theta$ 和 $\delta$ , 表示两个振子各自的初始相位。

利萨如图形的性质

上面 参数式 一节中的 $a$,$b$,$\theta$,$\delta$ 强烈影响着 利萨如图形 的形状,在上面的动态演示中可以 通过控件来改变 它们的值。

频率比

$a$ 与 $b$ 的比值 $a/b$ ,是决定利萨如图形状的首要因素, 强烈影响着利萨如图形 的形状。比如:

  • 当 $a/b$ 为有理数时,图形曲线闭合
  • 振动频率之比决定图形在$x$, $y$方向上的叶瓣的个数

比如,$a:b=1:3$ 时,得到的图形如

图中 $x$ 横轴方向上的叶瓣有1个,而 $y$ 纵轴方向上的叶瓣有3个

相位差

随着相位差 $\phi = \theta-\delta$ 的变化,图形看起来像在三维空间旋转的投影。下面观察几种参数组合的图形:

频率比 a/b 相位差 φ 利萨如图形形状
1:1 直线
1:1 0°~90° 椭圆
1:1 90°

a:b=1:1

最简单的情形,完全同相,$\phi=0$得到直线

$\phi= \pi/4$ 得到椭圆

$\phi= \pi/2$ 得到圆(从参数式看出,$\sin$ 函数移相 $\pi/2$ 得到 $\cos$,于是图形是圆 )

(这一步是由两个振子得到圆,和 正弦函数 中、圆分解为两种振动的过程刚好相反)

当 $0 \le \phi \le 2\pi$ 时,图形的变化趋势如下图:

图形好像一个圆绕着圆柱旋转时,在屏幕上的投影。

有没有感觉像下面的 旋转舞者 ?一会觉得是向左转,一会觉得是向右转。

a:b=1:2

这里 所讲,a 值决定 y轴 方向的叶瓣数量,b 值决定 x轴 方向的叶瓣数量。

$\phi=0$得到蝴蝶形状:

$\phi = \pi/4$得到单根曲线:

$\phi = \pi/2$又得到蝴蝶形状,不同的只是起始点位置:

当 $0 \le \phi \le 2\pi$ 时,图形的变化趋势如下图:

其他 a:b 值

本节展示多种频率比值条件下,相位差在 $0 \le \phi \le 2\pi$ 范围改变时图形的变化过程。

$$a:b=1:3$$
$$a:b=2:1$$
$$a:b=5:4$$
$$a:b=13:15$$


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