利萨如图形的动态演示

发表时间

利萨如图形,Lissajous curve,也叫李萨如图形、李沙育图形。用来展示两个相互垂直的简谐振动的合成。振动可以包括机械振动,或者电信号的振荡。

动态演示

下面的动态图像,展示了两个独立简谐运动合成的“利萨如图形”,右侧的控件可以启动或暂停图像,改变各种参数。

定义式

本文采用的参数方程为$$x(t)=\sin(at+\phi)\\y(t)=\sin(bt)$$

上述方程的含义为:

图形的横、纵坐标,分别来自两个振子的瞬时位置,这两个振子的振动方向相互垂直,振幅相等,振动频率分别为 $a$ 和 $b$。

特性

a 值决定 y 轴 方向的叶瓣数量;
b 值决定 x 轴 方向的叶瓣数量。

比如,a=1,b=3 时,得到的图形

a 与 b 的比值 a/b,是决定利萨如图形状的首要因素,其次是相位差 $\phi$

当 a/b 为有理数时,图形曲线闭合。

调整相位差 $(\theta-\delta)$ 让图形旋转起来
让图像看起来好像是三维旋转在平面上的投影。

图形的形状强烈受 $a:b$ 值的影响,下面考察不同的 $a:b$ 值时,图形的变化趋势。

a:b=1:1

最简单的情形,完全同相,$\phi=0$得到直线

$\phi= \pi/4$ 得到椭圆

$\phi= \pi/2$ 得到圆($\sin$ 函数移相 $\pi/2$ 得到 $\cos$ )

(这一步是由两个振子得到圆,和 正弦函数 中刚好相反)

当 $0 \le \phi \le 2\pi$ 时,图形的变化趋势如下图:

图形好像一个圆绕着圆柱旋转时,在屏幕上的投影。

有没有感觉像下面的 旋转舞者 ?一会觉得是向左转,一会觉得是向右转。

a:b=1:2

a 值决定 y轴 方向的叶瓣数量;
b 值决定 x轴 方向的叶瓣数量。

$\phi=0$得到蝴蝶形状:

$\phi = \pi/4$得到单根曲线:

$\phi = \pi/2$又得到蝴蝶形状,不同的只是起始点位置:

当 $0 \le \phi \le 2\pi$ 时,图形的变化趋势如下图:

其他 a:b 值

$$a:b=1:3$$

$$a:b=2:1$$

$$a:b=5:4$$

$$a:b=13:15$$


  欢迎到 留言板 写下你的看法。
  本页面内容采用 署名协议 CC-BY 授权。欢迎转载,请保留原文链接