对数螺线

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对数螺线的定义

对数螺线 又叫等角螺线。是自然界最常见的螺线形式。极坐标方程为$$r=ae^{b\theta}$$

取$a=0.01, b=0.2$,图形如下

对数螺线是等角螺线

等角螺线满足:原点出发的任意一条直线,与曲线所成角度,处处相等,该角度为$$\alpha=\arctan(1/b)$$

下图中两根蓝线的夹角始终不变。

与圆的夹角

以原点为圆心的任意圆,与等角螺线的相交的角,处处相等,

注意下图中红点两侧的夹角。

缩放的自相似性

放大和缩小后的对数螺线,和原图形相似,比如如下曲线族:

$$r=ae^{b(A*\theta)}$$

当 $A$ 逐步变化时,得到的图形如下,可以看出,图形完全重叠。

旋转的自相似性

旋转后的对数螺线,和原图形相似,比如如下曲线族:

$$r=ae^{b(\theta+\delta)}$$

当 $\delta$逐步增大时,得到的图形如下。


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