对数螺线

2018-07-23

对数螺线的定义

对数螺线 又叫等角螺线。是自然界最常见的螺线形式。极坐标方程为$$r=ae^{b\theta}$$

取$a=0.01, b=0.2$,图形如下

等角螺线

对数螺线也是等角螺线,有下面到性质:

原点出发的任意一条直线,与曲线所成角度 $\alpha$ 处处相等,且该角度为

$$\alpha=\arctan(1/b)$$

用图形解释,就是下图中两根蓝线的夹角始终不变。

图中一条蓝线是从螺线上任意一点到原点的线段,另一条蓝线是螺线在该点的切线。

螺线与圆的夹角

以原点为圆心的任意圆,与等角螺线的相交的角,处处相等,

注意下图中红点两侧的夹角。

缩放的自相似性

放大和缩小后的对数螺线,和原图形相似,比如如下曲线族:

$$r(\theta)=ae^{b(A\theta)}$$

当 $A$ 逐步变化时,可以看出,图形完全重叠。

旋转的自相似性

旋转后的对数螺线,和原图形相似,比如如下曲线族:

$$r(\theta)=ae^{b(\theta+\delta)}$$

当 $\delta$ 逐步增大时,得到的图形如下。

可以看出,得到的一族螺线是相似的。

墓志铭上的螺线

由于对数螺线具有上面许多美妙的性质,雅各布·伯努利 (Jacob Bernoulli,也就是伯努利双扭线 的那个伯努利,同时也是 伯努利实验的那个伯努利,但不是 伯努利定律 的那个伯努利,后者是前者的侄子)十分喜爱对数螺线,决定将对数螺线铭刻在自己的墓志铭上。见下图中的最下方:

可惜实际上工匠刻上了阿基米德螺线

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