抛物线

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抛物线的定义

抛物线是一种 圆锥曲线

抛物线上的点,与一个点F(称为焦点)之间的距离等于到固定直线L(称为准线)之间的距离。

二次项系数的影响

对于标准形式的抛物线 $y = ax^2 + bx +c$ ,二次项系数 $a$ 的符号决定了抛物线的开口方向,$a$ 的绝对值决定了抛物线的开口大小。

抛物线开口变大的同时,焦点也越来越远。可以想象,当 $a = 0$ 时,焦点在无穷远处,开口反向后,焦点从另一侧回到原点附近。

一次项系数的影响

一次项系数 $b$ 决定了抛物线顶点的位置,随着 $b$ 的改变,抛物线顶点的路径也是一个抛物线。

单位抛物线

正如所有圆都是相似的,所有抛物线也都是相似的。正如圆有 单位圆 ,也有单位抛物线:

$$y = x^2$$

任意抛物线可以平移或者缩放得到单位抛物线,也就是:

$$y’ = a (y + b)\\x’ = a (x + b)$$

反射性质

所有圆锥曲线,具有以下反射性质:

平行于对称轴的光线,将汇聚在焦点处。

可以认为抛物线的另一焦点位于无穷远处。

Orthoptic 性质

抛物线相垂直的两条切线,垂足位于准线上

反之亦成立

抛物线两条相交于准线上的切线,相互垂直


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