勒洛三角形的互动演示

发表时间 2021-03-19
阅读4分钟

为什么阴井盖是圆的? 这篇文章中提到,除了圆形以外,勒洛三角形状的阴井盖也不会掉入下水道。

绘制方法1

首先我们来看如何作出一个 勒洛三角形的互动演示,其实只需要一个圆规就够了。

步骤:

  1. 以任意点(如下图中的 红点 )为圆心,画一个圆心角超过 60° 的圆弧(如下图中的 红色 圆弧);
  2. 以相同的半径,在第一个圆弧上靠近端点的任意点(如下图中的 绿点 )为圆心,画出第二个圆弧(如下图中的 绿色 圆弧);
  3. 以上面两段弧的交点(下图中的 蓝点 )为圆心,保持半径不变,作出第三个圆弧(如下图中的 蓝色 圆弧);
  4. 三段圆弧形成的封闭图形即为 勒洛三角形

绘制方法2

第二种方法是以正三角形为基础

  1. 作一个正三角形
  2. 分别以三个顶点为圆心、以顶点的对边为弦作弧,三段弧围成的封闭图形即为 勒洛三角形勒洛三角形

定宽曲线

试着用两条平行线去夹一个封闭曲线,保证两条直线只从外部接触到曲线,有一个交点而不穿过它。如果无论从哪个角度去夹,这两条平行线的距离保持不变,那么这个封闭曲线就叫做定宽曲线,平行线之间的距离称为定宽曲线的宽度。

868.gif
(图片来自网络)

圆的周长 这篇文章展示了 作为定宽曲线,在滚动时的形态。还可以把鼠标放在下图的圆上,感受一下定宽曲线:

勒洛三角形勒洛三角形也属于定宽曲线。把鼠标放在下图的勒洛三角形上,感受一下定宽曲线:

勒洛多边形

宽度相等的定宽曲线组成了一个家族,称为勒洛多边形。和 正三角形类似,勒洛多边形是以奇数条边的正多边形为基础制作出来的。有些国家的硬币 就采用勒洛七边形。

下图展示了勒洛三角形和勒洛五边形,不妨把同宽度的圆也一起放进来做个对比。因为正多边形随着边数的增多能逼近圆,勒洛多边形也同时在逼近圆。

周长

我们把 定宽曲线 中定义的宽度记为 $d$,然后来寻找定宽曲线的周长 $C$ 与宽度 $d$ 的关系。如下图所示:

勒洛三角形每段弧的半径 $ R=d $ ,圆心角等于正三角形的一个内角 60° 所以勒洛三角形的周长为 $$C=3 \cdot \frac{2\pi d}{6}=\pi d $$

上图中,右侧的圆的宽度同为 $d$ ,它的周长也是 $\pi d$。其实,所有宽度相同的定宽曲线的周长都是相等的:

Barbier 定理:所有宽度为 $d$ 的定宽曲线的周长都等于 $\pi d$

面积

宽度为 $d$ 的勒洛三角形的面积公式: $$ A=\frac{1}{2} (\pi - \sqrt{3})d^2 \approx 0.7 d^2 $$

与之宽度相等的圆面积:$$ A=\frac{\pi}{4}d^2 \approx 0.785 d^2 $$

宽度为 $d$ 的 勒洛多边形中,面积最小的是勒洛三角形,面积最大的是圆。勒洛三角形和圆的面积位于 勒洛多边形 的两个极端。

方孔钻头

勒洛三角形的每个内角都是 120°,是所有 勒洛多边形 中最小的内角,也意味着是最"锋利"的角。所以如果用作切割刀具,首选勒洛三角形。

方孔钻头的工作过程如下图:

913.gif

Wankel 发动机

Wankel 发动机也叫转子发动机,和奥拓发动机不同的是,其中的转子的截面采用了勒洛三角形。

869.jpg

(图片来自网络)

有人利用 TikZTex 样例页面 上发布了一个例子,展示了 Wankel 发动机的做功过程。简单的动图如下:

867.gif

图上各冲程的名词解释:

  • Aspiration:吸气
  • Compression:压缩
  • Explosion:爆炸
  • Detente:减压
  • Echappement:排气

为什么不能当轮子

既然如 定宽曲线 一节所展示的,类似圆和勒洛三角形这种定宽曲线可以在平行线间随意滚动。那么为什么只有圆可以作轮子,而没有见过使用 勒洛三角形 作轮子?

原因是这样的:一个曲线能作轮子,要求并不是曲线的宽度保持一致。而是要求轮子的轴到地面的距离恒定。因为车身是固定在轮轴上的,保持车身稳定是基本的要求。

勒洛多边形 中,勒洛三角形是中心对称性最差的,需要旋转120°才能和自身重合,所以用 勒洛三角形 做的轮子是最颠簸的。

把鼠标放在下图上,感受一下 勒洛三角形 用作轮子时,车身的颠簸。

生活中的勒洛多边形

在我们生活中,是否能看到 勒洛多边形 的身影?

裁缝用的划粉片

870.jpg
(图片来自网络)

上海某建筑的平面图

872.png
(图片来自网络)

贝斯、吉他的拨片

873.png
(图片来自网络)

硬币

英国 50便士 硬币

874.png
(图片来自网络)
硬币轮廓采用 勒洛多边形 后,仍然能保证硬币通过自动贩卖机的分拣通道,因为在平行直线中滚动时,勒洛多边形和等宽的圆形没有什么区别。下图展示了分硬币的过程,图中可以看出硬币在平行通道中滚动的样子。

877.gif
(图片来自网络)

本站是个人博客。除非特别说明,所有文章均系原创,并采用 署名协议 CC-BY 授权。
欢迎转载,惟请保留原文链接:/t/reuleaux-triangle/