窗户的定价规则

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定价问题

窗户的价格是按面积计算的,但是这么计算,合理么?

窗户一般有两种材料:玻璃和窗框型材。玻璃的面积是随着窗户面积成正比增加的,没什么问题。但是窗框的材料是按长度计算成本的,和窗户面积一定不成正比,也按照窗户面积计算价格,是不是有猫腻在里面?我们下面算一算。

推导

模型

窗户是以扇为单位的。假设我们每扇窗的高度为 $a$,宽度为 $b$,那么每扇窗户的面积为 $$ab$$

再假设一共有 $x$ 扇窗户,那么,窗户的总面积为 $$xab$$

玻璃的比例关系

所以随着窗户数量的增长,所需玻璃的数量呈线性的增长,每单位面积的窗户消耗的玻璃数量为玻璃面积除以窗户面积

$$C_{玻璃} ={A_{玻璃} \over A_{窗户}} = {xab \over xab } = 1$$

窗框的比例关系

接着看所需窗框的长度,这是问题的关键,我们要看随着窗户$x$的增多,窗框型材所需的量会如何增长:

所需的窗框型材由两部分组成:每扇窗的四条边,长度为 $$2(a+b)$$

$x$ 扇窗户所需的窗框长度为 $$2(a+b) \cdot x$$

和一个整体的外框: $$2(a+bx)$$

所以,$x$ 扇窗户所需的窗框型材总长度为:

$$\begin{align} l_{型材} &= 2(a+b) \cdot x+2(a+bx) \\ &= 2ax+2bx+2a+2bx \\ &= 2(a+2b)x+2a\end{align}$$

所以随着窗户数量的增长,每单位面积的窗户消耗的窗框型材长度为型材的长度除以窗户面积

$$\begin{align}
C_{型材} &={l_{型材} \over A_{窗户}} \\ &= {{2(a+2b)x+2a} \over {xab}} \\&= {{2(a+2b) \over ab}+{2 \over {xb}}}\\&={{2 \over b}+{4 \over a}+{2 \over xb}}
\end{align}$$

是由常数项 ${{2 \over b}+{4 \over a}}$ 和 倒数项 ${2 \over xb}$ 组成。

窗框的变化趋势

接下来我们看看倒数项的占比,来推断这两项之和随着 $x$ 增长的趋势如何:占比为倒数项与总和之比

$$\begin{align}\rho(x) &={{2 \over xb} \over {{2 \over b}+{4 \over a}+{2 \over xb}}} \\
&={{2a \over xab} \over {{2ax+4bx+2a}\over{xab}}}\\
&={{a}\over {(a+2b)x+a}}
\end{align}$$

取一个比较合理的窗户尺寸比例 $a=2b$,那么上式变为

$$\begin{align}\rho(x) &={{a}\over {(a+a)x+a}}\\&={{1}\over {2×+1}}\end{align}$$

画出函数图形为

结论

结论1

可以看出,当$x$增大时(一般正常的数量在10以上),倒数项的占比非常小,所以单位窗户面积所消耗的窗框型材近似为常数,这个常数是$${{2 \over b}+{4 \over a}}$$ 和玻璃一样,窗框也是随着窗户的增加,呈线性增加,所以结论1是

当窗户数量足够多(比如大于10)时,窗户按面积整体计算价格是合理的

结论2

窗框型材成本$${{2 \over b}+{4 \over a}}$$里,$a$和$b$都在分母上,所以结论2是

窗户面积越小,单位面积的成本越高

所以当窗户面积小时,工程商往往会限制窗户的最小面积,或者提高单价。反过来,$a$和$b$增加时,单位面积的成本会降低,所以落地窗的成本相对更低。

结论3

窗高 $a$ 的系数是4,对相对窗宽$b$成本的影响更大,所以有时候会限制 $a$ 的最小值,类似“不到 1m 按 1m 算”这种算法。

(完)

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